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Exercício Resolvido de Trabalho e Energia


Um peso de 10 N é erguido, a partir do repouso, por uma força de 30 N até uma altura de 5 m, determinar:
a) O trabalho da força aplicada para erguer o peso até a altura dada;
b) O trabalho da força peso;
c) A velocidade do corpo ao atingir a altura dada.
Quando necessário adotar a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2.


Dados do problema: Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência com origem no solo e orientado para cima, neste caso a aceleração da gravidade e a força peso do corpo serão negativas (Figura 1).
Figura 1

Solução

a) O trabalho de uma força é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {W=Fd} \tag{I} \]
neste caso a força é a força externa {F} que ergue o peso e a distância será a altura {h} a que o peso foi erguido, assim
\[ \begin{gather} W_{\;\text{F}}=Fh\\ W_{\;\text{F}}=30.5 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {W_{\;F}=150\;\text{J}} \]

b) Aplicando a expressão (I) à força peso, temos
\[ \begin{gather} W_{\;P}=Ph\\ W_{\;P}=-10.5 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {W_{\;\text{P}}=-50\;\text{J}} \]

Observação: Não existe energia negativa, o sinal de negativo indica que o trabalho foi realizado contra o sentido do campo gravitacional. O campo gravitacional aponta para a Terra e o objeto se afastou ao ser erguido.

c) A força resultante (FR ) entre a força externa e a força peso é igual a
\[ \begin{gather} F_{R}=F-P\\ F_{R}=30-10\\ F_{R}=20\;\text{N} \end{gather} \]
A força peso é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \]
e a massa do corpo será
\[ \begin{gather} -10=m.(-10)\\ m=\frac{-10}{-10}\\ m=1\;\text{kg} \end{gather} \]
Pelo Teorema da Energia Cinética, o Trabalho de uma força é igual à variação da Energia Cinética
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{_{F\;}}{}{}{W}{}=\Delta E_{C}=E_{C}^{\;f}-E_{C}^{\;i}} \tag{II} \end{gather} \]
onde a Energia Cinética é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_{C}=\frac{mv^{2}}{2}} \tag{III} \end{gather} \]
substituindo as expressões (I) e (III) em (II) o trabalho da força resultante para erguer o corpo é dado por
\[ \begin{gather} F_{R}h=\frac{mv^{\;2}}{2}-\frac{mv_{\;0}^{\;2}}{2}\\ 20.5=\frac{1v^{\;2}}{2}-\frac{1.0}{2}\\ 100=\frac{v^{\;2}}{2}-0\\ 100=\frac{v^{\;2}}{2}\\ v^{\;2}=2.100\\ v^{\;2}=200\\ v=\sqrt{\;200\;} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {v=14,1\;\text{m/s}} \]
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