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Exercício Resolvido de Trabalho e Energia


Para retirar água de um poço utiliza-se uma bomba de potência útil 3675 W, a profundidade do poço é 30 m. Calcular o volume de água que pode ser extraído em 24 h. A aceleração da gravidade é de 10 m/s2 e a massa específica da água é de 1000 kg/m3.


Dados do problema:
Esquema do problema:

Adota-se um Nível de Referência (N.R.) na superfície da água no fundo do poço (Figura 1).
Figura 1
Solução

Em primeiro lugar devemos converter o intervalo de tempo dado em horas (h) para segundos (s) usado no Sistema Internacional (S.I.).
\[ \Delta t=24\;\cancel{\text{h}}.\;\frac{60\;\cancel{\text{min}}}{1\;\cancel{\text{h}}}.\frac{60\;\text{s}}{1\;\cancel{\text{min}}}=86400\;\text{s} \]
A potência é dada pela variação da energia por unidade de tempo
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\mathscr{P} =\frac{\Delta E}{\Delta t}} \tag{I} \]
A variação da energia será a dada pela variação da Energia Potencial
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\Delta E=E_{Pf}-E_{Pi}} \tag{II} \]
onde a Energia Potencial é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {E_{P}=mgh} \tag{III} \]
substituindo a expressão (III) em (II), a variação da energia potencial quando a massa de água é levada do fundo do poço (nível de referência, altura nula h0 = 0) até a superfície será
\[ \begin{gather} \Delta E=mgh-mgh_{0}\\ \Delta E=mgh-mg.0\\ \Delta E=mgh-0\\ \Delta E=mgh \tag{IV} \end{gather} \]
como a altura inicial é nula a energia potencial inicial é nula, e a variação da energia será a energia potencial final, substituindo a expressão (IV) em (I)
\[ \begin{gather} \mathscr{P} =\frac{mgh}{\Delta t}\\ m=\frac{\mathscr{P} \Delta t}{gh} \end{gather} \]
substituindo os valores do problema
\[ \begin{gather} m=\frac{3675.86400}{10.30}\\ m=\frac{317520000}{300}\\ m=1058400\;\text{kg} \end{gather} \]
A massa específica é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\mu =\frac{m}{V}} \]
\[ V=\frac{m}{\mu } \]
substituindo a massa de água encontrada acima e a massa específica dada no problema, temos
\[ V=\frac{1058400}{1000} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {V=1058,4\;\text{m}^{3}} \]
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