Ejercicio Resuelto sobre Dinámica
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En una máquina de Atwood, ambos cuerpos, apoyados sobre una superficie horizontal, están unidos por una
cuerda de masa despreciable e inextensible que pasa a través de una polea sin inercia y sin fricción.
Dadas las masas mA = 24 kg y mB = 40 kg. Determinar las aceleraciones
de los cuerpos cuando:
a) F = 400 N;
b) F = 720 N;
c) F = 1200 N.
a) F = 400 N;
b) F = 720 N;
c) F = 1200 N.
Datos del problema:
- Masa del cuerpo A: mA = 24 kg;
- Masa del cuerpo B: mB = 40 kg;
- Aceleración de la gravedad: g = 9,8 m/s2.
Tomando un sistema de referencia orientado positivamente en el mismo sentido de la fuerza \( \vec F \).
La fuerza aplicada en una polea se divide igualmente entre los dos lados (Figura 1-A), por lo tanto, la fuerza en cada lado de la polea será \( \frac{\vec F}{2} \).
Dado que la cuerda es ideal, de masa despreciable e inextensible, solo transmite la fuerza en la polea a los cuerpos, por lo que la componente de la fuerza \( \vec F \) en cada cuerpo también será \( \frac{\vec F}{2} \) (Figura 1-B).
Haciendo un Diagrama de Cuerpo Libre, tenemos las fuerzas que actúan sobre los bloques
-
Cuerpo A (Figura 2):
- \( \dfrac{\vec{F}}{2} \): fuerza transmitida desde la polea;
- \( {\vec P}_{\small A} \): peso del cuerpo A.
-
Cuerpo B (Figura 3):
- \( \dfrac{\vec F}{2} \): fuerza transmitida desde la polea;
- \( {\vec P}_{\small B} \): peso del cuerpo B.
Solución
Aplicando la Segunda Ley de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec F=m\vec a}
\end{gather}
\]
- Cuerpo A:
\[
\begin{gather}
\frac{F}{2}-P_{\small A}=m_{\small A}a_{\small A} \tag{I}
\end{gather}
\]
- Cuerpo B:
\[
\begin{gather}
\frac{F}{2}-P_{\small B}=m_{\small B}a_{\small B} \tag{II}
\end{gather}
\]
El peso está dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg}
\end{gather}
\]
para los cuerpos A y B
\[
\begin{gather}
P_{\small A}=m_{\small A}g \tag{III}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
P_{\small B}=m_{\small B}g \tag{IV}
\end{gather}
\]
sustituyendo la ecuación (III) en la ecuación (I)
\[
\begin{gather}
\frac{F}{2}-m_{\small A}g=m_{\small A}a_{\small A} \tag{V}
\end{gather}
\]
sustituyendo la ecuación (IV) en la ecuación (II)
\[
\begin{gather}
\frac{F}{2}-m_{\small B}g=m_{\small B}a_{\small B} \tag{VI}
\end{gather}
\]
a) Para \( F=400\;\text{N} \), la aceleración del cuerpo A está dada por la ecuación (V)
\[
\begin{gather}
a_{\small A}=\frac{\dfrac{400}{2}-24\times 9,8}{24}\\[5pt]
a_{\small A}=-{\frac{35,2}{24}}\\[5pt]
a_{\small A}=-1,5\;\mathrm{m/s^2}
\end{gather}
\]
Para el cuerpo B usando la ecuación (VI)
\[
\begin{gather}
a_{\small B}=\frac{\dfrac{400}{2}-40\times 9,8}{40}\\[5pt]
a_{\small B}=-{\frac{192}{40}}\\[5pt]
a_{\small B}=-4,8\;\mathrm{m/s^2}
\end{gather}
\]
Como las aceleraciones son negativas, los cuerpos deben moverse en contra de la orientación del
referencial (hacia abajo), pero como están sobre una superficie, permanecen en reposo y sus aceleraciones
son nulas
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a_{\small A}=a_{\small B}=0}
\end{gather}
\]
b) Para \( F=720\;\text{N} \), la aceleración del cuerpo A será según la ecuación (V)
\[
\begin{gather}
a_{\small A}=\frac{\dfrac{720}{2}-24\times 9,8}{24}\\[5pt]
a_{\small A}=\frac{124,8}{24}\\[5pt]
a_{\small A}=5,2\;\mathrm{m/s^2}
\end{gather}
\]
Para el cuerpo B usando la ecuación (VI)
\[
\begin{gather}
a_{\small B}=\frac{\dfrac{720}{2}-40\times 9,8}{40}\\[5pt]
a_{\small B}=-{\frac{32}{40}}\\[5pt]
a_{\small B}=-0,8\;\mathrm{m/s^2}
\end{gather}
\]
El cuerpo A tiene aceleración
Dado que la aceleración del cuerpo B es negativa, este debe moverse en contra de la orientación del referencial (hacia abajo), pero como está sobre una superficie, permanece en reposo y su aceleración será nula
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a_{\small A}=5,2\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
Dado que la aceleración del cuerpo B es negativa, este debe moverse en contra de la orientación del referencial (hacia abajo), pero como está sobre una superficie, permanece en reposo y su aceleración será nula
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a_{\small B}=0}
\end{gather}
\]
c) Para \( F=1200\;\text{N} \), la aceleración del cuerpo A será según la ecuación (V)
\[
\begin{gather}
a_{\small A}=\frac{\dfrac{1200}{2}-24\times 9,8}{24}\\[5pt]
a_{\small A}=\frac{364,8}{24}\\[5pt]
a_{\small A}=15,2\;\mathrm{m/s^2}
\end{gather}
\]
Para el cuerpo B usando la ecuación (VI)
y el cuerpo B tiene aceleración
\[
\begin{gather}
a_{\small B}=\frac{\dfrac{1200}{2}-40\times 9,8}{40}\\[5pt]
a_{\small B}=\frac{208}{40}\\[5pt]
a_{\small B}=4,3\;\mathrm{m/s^2}
\end{gather}
\]
El cuerpo A tiene aceleración
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a_{\small A}=15,2\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
y el cuerpo B tiene aceleración
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a_{\small B}=4,3\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
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